二元一次方程组的练习题

一、直接解题型

小明的手机套餐里，每月有100分钟通话时长和1G的流量，月固定资费为80元。他超出通话时长的部分，每分钟收费0.5元；超出流量的部分，每MB收费0.1元。上个月小明一共使用了200分钟通话时长和3G的流量，那么他需要支付多少通话费和流量费用？ 解：设超出通话时长的部分为x分钟，超出流量的部分为y MB，则根据题意可以列出如下的二元一次方程组： ``` x + 100 = 200 0.1y + 80 + 0.5x = 80 + 0.5*100 ``` 化简得到： ``` x = 100 0.1y+20 = 70 ``` 解得： ``` x = 100 y = 500 ``` 因此，小明需支付的通话费用为0.5×(200−100)=50元，流量费用为0.1×(3−1)×1024+0.1×500=222元。所以，他需要支付的总费用为50+222=272元。

二、消元求解型

解二元一次方程组时，常常采用“消元”法，去掉方程组中某个未知量，从而将问题简化为一元一次方程的形式。比如，设x+y=3，3x-2y=5，则我们可以通过消去y，转化为一个仅涉及x的方程。 解：将第一个方程乘以2，得到2x+2y=6，将其代入第二个方程，得到： ``` 2x+2y−3x+2y = 6+5 -x+4y = 11 ``` 因此，y = (11+x)/4，将其代入第一个方程，得到： ``` x+(11+x)/4=3 5x+11=12 ``` 解得： ``` x = 1 y = 5/4 ``` 因此，方程组的解为x=1，y=5/4。

三、应用题型

利用二元一次方程组解决实际问题时，常常需要根据问题描述来列出方程，并通过求解方程组得到问题的答案。比如，下面的问题： 一个火车从A站到B站，平均每小时行驶50公里。开车3小时后故障，停了1小时，再以每小时40公里的速度行驶，到达终点B站，整个旅程共用时5小时。求A站到B站的距离是多少公里？ 解：设A站到故障地点的距离为x公里，从故障地点到B站的距离为y公里，则可以列出如下的二元一次方程组： ``` x + y = D x/50 + y/40 = 5 x/50 + (x+y)/40 + 1/4 = 5 ``` 其中D为A站到B站的距离。化简得到： ``` 9x + 11y = 4D 27x + 31y = 20D ``` 解得： ``` x = 500 y = 300 ``` 因此，A站到B站的距离为x+y=800公里。 三个练习题分别展示了不同类型的二元一次方程组求解方法，相信聪明的你一定已经get到了吧！