Adomian分解法的推导

什么是Adomian分解法

Adomian分解法是一种求解非线性微分方程的方法，最早由George Adomian提出。其基本思想是把非线性微分方程分解成一系列逐次线性化的子问题，并利用逐次线性化求出每个子问题的解，最终组合出原问题的解。

Adomian分解法的推导

1. 假设我们有一个非线性微分方程：$$F(y) = 0$$其中 $y$ 是未知函数。2. 对 $y$ 做一个类似泰勒展开的分解：$$y = \\sum_{n=0}^{\\infty} A_n$$其中 $A_n$ 是一个与 $n$ 相关的函数，例如 $A_0$ 是一个常数，$A_1$ 是一个一阶函数，$A_2$ 是一个二阶函数，以此类推。3. 将 $y$ 的分解代入原方程，得到：$$F(y) = F \\left( \\sum_{n=0}^{\\infty} A_n \\right) = 0$$4. 对方程的左侧进行一系列变换：$$\\begin{aligned}F(y) &= F \\left( \\sum_{n=0}^{\\infty} A_n \\right) \\\\&= F(A_0) + F'(A_0) \\cdot A_1 + \\frac{1}{2} F''(A_0) \\cdot A_1^2 + \\cdots \\\\&\\quad + F^{(n)}(A_0) \\cdot A_n + \\cdots\\end{aligned}$$其中 $F'(A_0)$ 表示 $F(y)$ 对 $y$ 的一阶导数，在 $y=A_0$ 处求值，类似地，$F''(A_0)$ 表示 $F(y)$ 对 $y$ 的二阶导数，在 $y=A_0$ 处求值。5. 对方程的右侧进行类似的变换：$$0 = 0 + 0 \\cdot A_0 + 0 \\cdot A_1 + \\cdots + 0 \\cdot A_n + \\cdots$$6. 将变换后的左右两侧分别对应相减，得到下面的方程：$$\\begin{aligned}0 &= F(A_0) + F'(A_0) \\cdot A_1 + \\frac{1}{2} F''(A_0) \\cdot A_1^2 + \\cdots \\\\&\\quad + F^{(n)}(A_0) \\cdot A_n + \\cdots \\\\&- 0 - 0 \\cdot A_0 - 0 \\cdot A_1 - \\cdots - 0 \\cdot A_n - \\cdots \\\\&= F(A_0) + F'(A_0) \\cdot A_1 + \\frac{1}{2} F''(A_0) \\cdot A_1^2 + \\cdots \\\\&\\quad + F^{(n)}(A_0) \\cdot A_n + \\cdots\\end{aligned}$$7. 将上述方程对 $A_n$ 求解，得到 $A_n$ 的递推公式：$$A_n = -\\frac{1}{F^{(n)}(A_0)} \\sum_{k=0}^{n-1} F^{(k)}(A_0) \\cdot A_{n-1-k}$$其中 $F^{(k)}(A_0)$ 表示 $F(y)$ 对 $y$ 的 $k$ 阶导数，在 $y=A_0$ 处求值。8. 依据 $A_0$ 的选取不同，可以得到不同的解，例如当 $A_0=0$ 时，我们得到的是 0 解，当 $A_0=a$ 时，我们得到的是关于 $a$ 的解。

Adomian分解法的应用

Adomian分解法可以应用于各种非线性微分方程，包括偏微分方程和积分方程。相比于传统的数值方法，例如欧拉方法和龙格-库塔方法，Adomian分解法具有以下优点：- 不需要网格化，适用于求解任意区域内的方程；- 简单易懂，易于实现；- 可以得到精确解，而不是近似解。因此，Adomian分解法在科学计算和工程实践中具有重要的应用价值。